组合数学 · 编辑精选
16个数字复式三中三有多少组？先给你一个干净答案
把“复式三中三”翻译成数学语言，就是从 16 个互不相同的数字中，任取 3 个组成一组，且不考虑顺序。这个问题的答案并不玄妙，它落在一个我们中学就见过、却常常被误用的组合公式上。
560
组 · C(16,3) = 16×15×14 ÷ 3×2×1
如果你只想要结论，读到这里就够了；如果你想弄清“为什么不是 3360”“为什么不能按排列算”，下面的几段会更有意思。
Topics · 六条题材
六个值得顺着往下读的方向
从“怎么算”到“算完能干什么”，我们按阅读情绪排了序，越往后越偏思考，而不是计算。
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先分清 C 与 A
C 是组合，A 是排列。三中三不含顺序，所以用 C(16,3)，不是 A(16,3)。
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除数 6 从哪来
三个数字的全排列有 3! = 6 种，组合只保留其中一种，所以整体除以 6。
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数字变了怎么算
把 16 换成 n，答案就是 n(n−1)(n−2)/6，这是一条可以随身带走的小公式。
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为什么答案看着“不大”
560 组听起来不少，但相对全部可能而言并不夸张，这正是直觉容易失准的地方。
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工具只是加速器
计算器能秒出 560，但能不能讲清过程，才是真正区分“会用”和“懂了”的地方。
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把结论放回语境
组合数回答的是数量问题，不回答概率与结果问题，读的时候别让它越界。
Guide · 使用指南
三步算清，两条提醒
指南面向“想自己动手算一遍”的读者；小贴士面向“想避免常见错误”的读者。两者可以分开读。
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第一步：确认是组合，不是排列
问自己一句：选出 3 个数字之后，它们的位置或先后顺序会影响结果吗？如果不会，就用组合数 C。
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第二步：写出 n(n−1)(n−2) 并约分
16×15×14 ÷ 6。先约掉 15 与 6 的公因数 3，再约掉 14 与 2，得到 8×5×14 = 560，避免大数相乘出错。
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第三步：用边界值回检
当 n = 3 时结果应为 1，当 n = 4 时结果应为 4。用这两个小例子检验你的公式，能挡住大部分笔误。
小贴士一：先约分再相乘
组合数公式里的阶乘部分最好提前约掉，既降低计算量，也减少中间大数带来的心算压力。
小贴士二：答案要带单位
“560”不是一个孤立的数字，它的单位是“组”。写清单位，读的人才知道你回答的是哪个问题。
Editor's Note · 编辑手记
我们为什么认真对待一个 560
坦白说，第一次看到“16个数字复式三中三有多少组”这个问题时，我们的反应是：这不就是一道课后习题吗？但把它放到搜索框里，你会发现答案五花八门，3360、560、甚至 1760 都有人写。分歧大多不是算错，而是没先说清“顺序算不算数”。
所以我们决定用编辑的方式处理它：先把定义摆正，再给结论，最后才谈延伸。组合数学最迷人的地方在于，它几乎不需要复杂工具，只需要你愿意把一句话翻译准确——“从 16 个里取 3 个，不管顺序”，翻译完，公式自己就站在那儿了。
我们也想提醒一句：这类计算的用途，是理解“有多少种可能”，而不是预测“哪一种会发生”。这两件事之间隔着概率、样本与不确定性，不能用一个组合数草草抹平。把它当作一道诚实的数学题，它就会诚实地回报你。
来信 · 说说你的算法
如果你有更快的约分技巧、更好的讲解顺序，或者发现文中有任何表述不清的地方，欢迎写信告诉我们。我们喜欢有具体步骤的来信，胜过只有结论的争论。